“Creo que el siguiente siglo (XXI) será el siglo de la complejidad”.
-Stephen Hawking
La ciencia de la complejidad también llamada ciencia de los sistemas complejos estudia como un gran número de componentes que interactúan entre ellos en pequeñas escalas pueden espontáneamente autoorganizarse para mostrar comportamientos no triviales a escalar mas grandes. Estos comportamientos no pueden entenderse ni explicarse a partir de un análisis individual de cada componente si no que se requieren herramientas matemáticas que ayuden a comprender el sistema como un todo.
Dentro de las herramientas matemáticas que más se utilizan en sistemas complejos es la descripción basada en redes. Sistemas multiagentes como colecciones de genes interactuantes, ensambles de neuronas interconectadas o comunidades sociales puedes ser aproximadas como un conjunto de nodos y conexiones. Si un nodo interactúa con otro ambos compartirán una conexión o edge.
Dentro de estos modelos de redes se encuentran las redes booleanas. Estas fueron propuestas por Walker y Ashby en 1965 como un sistema complejo que podía tener aplicaciones interesantes, sin embargo, no presentaron ninguna de tales aplicaciones pues el estudio de las redes booleanas era muy nuevo y aún no se desarrollaba mucha teoría sobre ellas. Fue hasta 1969 que Kauffman popularizó las redes booleanas como modelo para circuitos genéticos.
Hoy en día las redes booleanas son ampliamente utilizadas en biología para modelar redes genéticas reguladoras. Los atractores, concepto que se hizo muy popular debido al efecto mariposa de Lorenz tuvo una interante interpretación dentro de estas redes géneticas reguladoras, pues, como sabemos un atractor es un conjunto de estados al que tiende a evolucionar un sistema dinámico con unas condiciones iniciales específicas, entonces, un atractor podría significar una expresión celular específica. Por ejemplo, en una red booleana los nodos, sus edges y sus reglas de activación pueden llevar a un atractor, ahora, en el contexto de una red genética esto podría interpretarse como que algunos genes interactúando con otros pueden ser los causantes del desarrollo de una enfermedad en particular.
Redes Booleanas y Redes Booleanas Probabilísticas
Veamos como se constrye una Red Booleana.
Una red booleana se define por un conjunto de nodos y una lista de funciones booleanas. Cada nodo es una variable binaria, es decir, que puede tomar dos valores posibles. El estado de cada nodo en un tiempo t+1 está completamente determinado por los valores de los demás genes de la red a un tiempo t gracias a una función booleana.
Veamos un ejemplo para que quede claro. Tenemos la siguiente topología de red:

Podemos observar que nodo esta conectado con cuál. En este caso cada nodo recibe conección de otros dos. En términos de teoría de redes su
Ya que tenemos la conectividad de la red introducimos las funciones booleanas
Estas funciones nos determinarán el estado siguiente de los nodos dado un estado inicial. Por ejemplo, sea el estado inicial el siguiente:
Todos los nodos se encuentran en estado 0. Entonces en las expresiones que tenemos de conectividad simplemente sustituimos el estado de cada nodo:
Y partir de las funciones booleanas observamos que para el nodo 1, marca que si recibe como argumento el estado 00 entonces el nodo cambiará al estado 0 o permanecerá como es el caso. Análogamente para el nodo 3 y el nodo4. Para el nodo 2 la tabla nos dice que si
recibe como argumento el estado 00 entonces el nodo cambiará al estado 1. Entonces:
Este procedimiento se repite para todos los posibles estados de los nodos generando una red de transición de fase. Dentro de esta red podrían aparecer atractores, es decir, estados a los que independientemente del estado inicial la red llegaría en un determinado tiempo , donde
varía dependiendo del estado o condición inicial. También se introduce el concepto de basin of attraction que son los estados anteriores para que el sistema caiga en el atractor.
Su aplicación a las redes genéticas reside en que el estado 0 de un nodo significa que el gen está inactivo mientras que el estado 1 indica actividad.
Ahora que hemos comprendido como funciona una Red Booleana, podemos afirmar que es un modelo bastante determinista. Se ha comprobado que durante la regulación genética, las reglas que dictan como cambian de estado los genes son muy diferentes en cada paso (Davidson, 2006). Es decir, a diferencia de que en una RB las funciones booleanas generadas al principio dicataban toda la evolución del sistema, en sistema biológicos reales parece que las reglas van cambiando continúamente debido al contexto en que se encuentran las células. Este problema ha tratado de ser solventado introduciendo una variación de las redes booleanas: Redes Booleanas Probabilísticas. En este modelo, se generan funciones booleanas aleatorias en cada iteración.
Analicemos dos buenas aplicaciones en donde las Redes Probabilísticas Aleatorias han dado buenos resultados.
Prevención del Virus del Dengue y de la Enfermedad de Parkinson
Joc Cing Tay y Philip Tan publicaron un artículo titulado Finding Intervention Points in the Pathogenesis of Dengue Viral Infection [2]. En su trabajo se explotan las ideas básicas que hemos discutido hasta ahora. La Enfermedad del Dengue presenta un atractor mientras que la Enfermedad Hemorrágica del Dengue presenta otro distinto.
Plantearon la hipótesis de que podían modificar algunos nodos de tal manera que el basin of attraction de la Enfermedad Hemorrágica del Dengue disminuyera, mientras que el de la Enfermedad del Dengue aumentara. A estos nodos les llamaron intervention points. Encontraron que las citocinas TGF-, IL-8 y IL-13 tenían un papel importante en el desarrollo de la Enfermedad Hemorrágica del Dengue por lo que una minimzación de estas proteínas puede ser un método efectivo para la prevención de esta patología.
Zheng Ma, Z. Jane Wang y Martin J. McKeown en su artículo Probabilistic Boolean Network Analysis of Brain
Connectivity in Parkinson’s Disease [3] realizaron un modelo de Redes Booleanas Probabilísticas para estudiar la conectividad de ciertas regiones del cerebro y su relación con la Enfermedad de Parkinson. La metodología que siguieron fue que evaluaron la conectividad en las regiones de interés para un grupo diagnosticado con Parkinson y lo compararon con un grupo de control. Sus resultados mostraron que había una diferencia en conectividad en pacientes de Parkinson en las regiones R-CER, L-M1, R-PUT y R-THA. Estos resultados sugieren que la conectividad en el cerebro es un factor importante que nos lleve a una mejor comprensión de esta patología.
En la siguiente figura se observan estas zonas del cerebro.

Conclusiones
Podemos concluir que las redes booleanas son modelos muy útiles para representar sistemas complejos. Estos modelos son especialmente útiles en sistemas biológicos. Cada agente de interés puede representarse como un nodo en este tipo de redes, y según su interacción y funciones booleanas se pueden presentar atractores a los que se les puede dar la interpretación de patologías específicas. En base a estos atractores es posible determinar el basin of attraction y determinar nodos relevantes a los que mediante perturbaciones nos lleven a cambios en el atractor. Estas ideas fueron brillantemente aplicadas por Joe Cing Tay y Philip Tan para estudiar la Enfermedad Hemorrágica del Dengue. Por otra parte la conectividad de una red booleana probabilística también puede tener aplicaciones en la medicina, por ejemplo en la conectividad de regiones del cerebro relacionadas con la Enfermedad de Parkinson como se estudió en [3].
Referencias
[1] Shmulevich I, Gluhovsky I, Hashimoto RF, Dougherty ER, Zhang W: Steady-state analysis of genetic regulatory networks modelled by probabilistic Boolean networks. Comp and Funct Genomics 2003,
4:601–608.
[2] Tay J, Tan P: Finding intervention points in the pathogenesis of dengue viral infection. In Proc. 28th IEEE EMBS Annual International Conference: 30 August – 3 September; New York City, NY, USA: IEEE Computer Society; 2006:5315–5321.
[3] Ma Z, Wang Z, McKeown M: Probabilistic Boolean network analysis of brain connectivity in Parkinsons disease. IEEE J Selected Topics in Signal Process 2008, 2(6):975–985.